Для того, чтобы возводить в степень числа, а также перемножать числа и выражения используются формулы сокращенного умножения. Данные формулы ускоряют процесс вычислений и делают его более удобным.
В этой статье будут рассмотрены главные формулы, используемые для сокращенного умножения, затем собраны в единую таблицу. Кроме того, будут приведены примеры использования данных формул и основные принципы, доказывающие рассмотренные формулы.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Тема ФСУ впервые подлежит рассмотрению в рамках учебника "Алгебра" за 7 класс.
7 основных формул приведены ниже:
Вместо букв a, b, c в указанных выражениях можно подставить произвольные числа, выражения или переменные. Лучше запомнить наизусть указанные семь главных формул для удобства их применения. Соберем эти формулы в единую таблицу, и покажем ниже, заключив в рамку.
Первая и вторая формула используются, чтобы вычислить квадрат суммы или разности двух чисел. Третья и четвертая формулы служат для расчета куба суммы или разности двух чисел соответственно.
Пятая формула применима для вычисления разности квадратов двух чисел посредством произведения их разности и суммы.
Шестая формула - сумма кубов двух чисел, которая равна умножению суммы двух чисел на неполный квадрат разности. Седьмая формула - разность кубов двух чисел - равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы.
Формулы сокращенного умножения еще иногда называются равенствами сокращенного умножения. Здесь нет ничего необычного, поскольку каждое равенство является по сути тождеством.
Для решения примеров на практике часто формулы сокращенного умножения применяют, меняя местами левые и правые части. Данное действие является особенно удобным, если происходит разложение многочлена на отдельные множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Если не ограничиваться курсом по алгебре за 7 класс, можно добавить ещё несколько формул в составленную нами таблицу ФСУ.
Для начала, изучим формулу бинома Ньютона.
Здесь Ckn - двучленные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитывают по формуле:
Из этого следует, что ФСУ для куба и квадрата суммы и разности является частным случаем формулы бинома Ньютона соответственно при n=2, n=3.
Как быть, когда слагаемых в сумме, которые требуется возвести в степень, больше двух? Полезной окажется формула квадрата суммы трех и более чисел.
Как читается эта формула? Квадрат суммы n суммируемых чисел равняется сумме квадратов всех этих чисел и удвоенных произведений всех возможных пар этих чисел.
Вот ещё формула, которая может оказаться полезной - формула разности n-ых степеней двух складываемых чисел.
Данную формулу чаще делят на две - для нечетных и четных степеней соответственно.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Формулы разности квадратов и разности кубов, как можно догадаться, представляют собой частные случаи этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на −b.
Как читать формулы сокращенного умножения?
Рассмотрим соответствующие формулировки для каждой формулы, но для начала изучим принцип чтения формул. Лучше всего это делать на примере. К примеру возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух выражений.
Она трактуется следующим образом: квадрат суммы двух чисел a и b равняется сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения обоих чисел и квадрата второго числа.
Оставшиеся формулы читают аналогичным образом.
Для квадрата разности
можно записать так: квадрат разности двух чисел a и b равняется сумме квадратов данных чисел минус удвоенное произведение первого и второго числа.
Далее читаем формулу 
Куб суммы двух чисел a и b равняется сумме кубов этих чисел, утроенного произведения квадрата первого из чисел на второе и утроенного произведения квадрата второго из чисел на первое число.
Далее читаем формулу куба разности двух чисел 
Куб разности двух чисел a и b равняется кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго числа на первое число, минус куб второго числа.
Пятая формула
(разность квадратов) будет читаться так: разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности двух этих чисел.
Следующие выражения
для удобства называют неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы соответственно.
Таким образом, формулы суммы и разности кубов будут читаться так:
Сумма кубов двух чисел будет равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности.
Разность кубов двух чисел будет равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ можно достаточно простым способом. Опираясь на свойства умножения, рассчитаем произведение частей формул, указанных в скобках.
В качестве примера возьмем формулу квадрата разности.
Для того, чтобы возвести во вторую степень данное выражение, нужно это выражение умножить само на себя.
Раскрываем скобки:
Данная формула доказана. Оставшиеся ФСУ доказываются схожим способом.
Примеры применения ФСУ
Целью применения формул сокращенного умножения - возведение чисел в степень, а также краткое и быстрое их умножение. Кроме того этим сфера использования ФСУ не ограничивается. Формулы широко применяются при сокращении выражений, сокращении дробей, а также разложении многочленов на отдельные множители.
Рассмотрим примеры.
]
Помимо этого ФСУ служат для вычисления значения выражений.
Главное - уметь определить, где применить какую формулу. Рассмотрим это на примере.
Возведем число 79 в квадрат. Вместо объемных вычислений, запишем так:
Таким образом, что сложное вычисление рассчитано быстро всего лишь с помощью формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение
можно преобразовать в вид 
. Данные преобразования широко используются в интегрировании.
